Pada tahun 1854 Boole menemukan cara baru
untuk berfikir dan menjelaskan berbagai hal. Boole melihat adanya suatu pola
dalam cara berfikir kita yang memungkinkan untuk menciptakan “Logika Simbolis”.
Suatu penalaran berdasarkan pada manipulasi huruf-huruf dan lambang-lambang.
Logika simbolis menyerupai aljabar biasa.
a.
Hukum
Asosiatif
A.B.C = (A.B).C = A.(B.C) = (A.C).B
A + B + C = ( A + B ) + C = A + ( B + C) = ( A + C ) + B
Jika penyalinannya berbeda-beda, maka hukum ini tidak
berlaku
A.B + C ¹ A.(B +
C)
Hukum Komutatif
A . B
= B . A ( A + B ) = ( B + A )
|
A
|
B
|
(A.B)
|
(B.A)
|
|
A
|
B
|
(A+B)
|
(B+A)
|
|
0
0
1
1
|
0
1
0
1
|
0
0
0
1
|
0
0
0
1
|
|
0
0
1
1
|
0
1
0
1
|
0
1
1
1
|
0
1
1
1
|
b.
Hukum
Idempotent (Hukum Perluasan)
A.A = A A+A
= A
A.A.A ...= A A+A+A+...+A
= A
c.
Hukum
Identitas
A = A = A = ...dst
d.
Hukum
Komplementasi
A.`A = 0 A +`A = 1
A
|
`A
|
A.`A
|
A+`A
|
|
0
1
|
1
0
|
0
0
|
1
1
|
e.
Hukum
penyalinan dengan suatu konstanta
A.1 = A A+1 = 1
A.0 = 0 A+0 = A
f.
Hukum pembalikan
A = A A = A
g.
Hukum
Absorbsi
A+(A.B) = A A(A+B)
= A
Bukti : Bukti
:
A+(A.B) = A A.(A+B) = A
(A.1)+(A.B) = A (A.A)+(A.B) = A
A.(1 + B) = A A + A.B
= A
A.1 = A (A.1)+(A.B)
= A
A.(1+B)
= A
A.1 =
A
A + (`A.B) = A
+ B A.(`A + B) = A.B
Bukti : Bukti
:
A+(`A.B) =(A.A)+(`A.B) A.(`A + B) = (A.`A) +
(A.B)
=(A+`A).(A+B) = 0 +
(A.B)
=
1 . (A+B) = A.B
=
(A + B)
|
A
|
B
|
A.B
|
A+(A.B)
|
|
A
|
B
|
A+B
|
A(A+B)
|
|
0
0
1
1
|
0
1
0
1
|
0
0
0
1
|
0
0
1
1
|
|
0
0
1
1
|
0
1
0
1
|
0
1
1
1
|
0
0
1
1
|
|
A
|
`A
|
B
|
`A.B
|
A+(`A.B)
|
A+B
|
`A+B
|
A.(`A+B)
|
A.B
|
|
0
0
1
1
|
1
1
0
0
|
0
1
0
1
|
0
1
0
0
|
0
1
1
1
|
0
1
1
1
|
1
1
0
1
|
0
0
0
1
|
0
0
0
1
|
h.
Hukum
Distributif
A.(B+C) = (A.B) + (A.C)
|
A
|
B
|
C
|
B+C
|
A.(B+C)
|
A.B
|
A.C
|
(A.B)+(A.C)
|
|
0
0
0
0
1
1
1
1
|
0
0
1
1
0
0
1
1
|
0
1
0
1
0
1
0
1
|
0
1
1
1
0
1
1
1
|
0
0
0
0
0
1
1
1
|
0
0
0
0
0
0
1
1
|
0
0
0
0
0
1
0
1
|
0
0
0
0
0
1
1
1
|
A+(B.C) = (A+B).(A+C)
|
A
|
B
|
C
|
B.C
|
A+(B.C)
|
A+B
|
A+C
|
(A+B).(A+C)
|
|
0
0
0
0
1
1
1
1
|
0
0
1
1
0
0
1
1
|
0
1
0
1
0
1
0
1
|
0
0
0
1
0
0
0
1
|
0
0
0
1
1
1
1
1
|
0
0
1
1
1
1
1
1
|
0
1
0
1
1
1
1
1
|
0
0
0
1
1
1
1
1
|
j.
Hukum De Morgan
Hukum-hukum De Morgan termasuk yang terpenting dalam
aljabar Boole
a.
Pengalih suatu fungsi
AND yang terdiri dari elemen-elemen variabel yang dibalikkan menjadi fungsi OR
yang di balik.
Pengalih suatu fungsi
AND yang terdiri dari elemen-elemen variabel yang dibalikkan menjadi fungsi OR
yang di balik.
Contoh : A.B =
`A + `B
`A + `B = A.B
b.
Penyalinan suatu
fungsi OR dari elemen-elemen variabel yang dibalikkan (diinversi) menjadi
fungsi AND yang dibalikkan
Penyalinan suatu
fungsi OR dari elemen-elemen variabel yang dibalikkan (diinversi) menjadi
fungsi AND yang dibalikkan
Contoh : `A + `B = A.B `A.`B = A+B `A.`B = A + B
Bukti
:
|
`A
|
A
|
B
|
`B
|
`A.`B
|
`A+`B
|
A+B
|
A.B
|
|
1
1
0
0
|
0
0
1
1
|
0
1
0
1
|
1
0
1
0
|
1
0
0
0
|
1
1
1
0
|
0
1
1
1
|
0
0
0
1
|
`A
|
A
|
B
|
`B
|
A+B
|
A.B
|
`A+`B
|
`A.`B
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1
1
0
0
|
0
0
1
1
|
0
1
0
1
|
1
0
1
0
|
1
0
0
0
|
1
1
1
0
|
0
0
0
1
|
0
1
1
1
|
||||||||||||||||||||||||||
Maka
untuk melakukan pengubahan menggunakan Hukum De Morgan berlaku asas :
1.
Simbol penyalinan
fungsi AND diubah menjadi fungsi NOR.
2.
Simbol
penyalinan menggunakan fungsi OR nerubah menjadi NAND.
3.
Tiap-tiap
suku dari dari ungkapan dibalik sendiri-sendiri.
Contoh
:
A.(B+C) = `A + (B+C) = `A + (`B.`C) A.(B.C) = `A + (B.C) = `A + (`B+`C)
2.1.
Penyederhanaan
fungsi secara Aljabar.
Penyederhaan fungsi-fungsi secara aljabar dilakukan
dengan menggunakan hukum-hukum dasar Aljabar Boole.
Contoh 1: Sederhanakan fungsi-fungsi persamaan dibawah ini:
E = A.C +A.D + B.C + B.D
Maka dengan menggunakan hukum Distributif, akan
diperoleh :
E = {A.(C+D)} + {B.(C+D)}
E = (A+B).(C+D)
Fungsi tersebut sebelum penyederhanaan membutuhkan 4
buah gerbang AND 2 input dan 1 buah gerbang OR 4 masukan. Sedangkan setelah proses penyederhanaan hanya
membutuhkan 2 gerbang OR 2 input dan 1 gerbang AND 2 input.
Contoh 2:
Diruang kontrol terdapat 3 buah alat pendingin yang
harus diawasi melalui 4 buah lampu. Persyaratannya: Bila tidak alat yang
bekerja maka lampu L1 menyala, bila satu alat yang bekerja lampu L2 menyala,
bila dua alat yang bekerja maka lampu L3 menyala, dan bila tiga alat yang
bekerja maka lampu L4 menyala. Tuliskan persamaan Aljabar Boole-nya dengan cara
SOP dan POS.
Solusi :
|
Input
|
Output
|
|||||
|
A
|
B
|
C
|
L1
|
L2
|
L3
|
L4
|
|
0
0
0
0
1
1
1
1
|
0
0
1
1
0
0
1
1
|
0
1
0
1
0
1
0
1
|
1
0
0
0
0
0
0
0
|
0
1
1
0
1
0
0
0
|
0
0
0
1
0
1
1
0
|
0
0
0
0
0
0
0
1
|
Dari tabel kebenaran dapat dilihat :
·
L1 menyala
bila `A =1 `B=1 dan `C =1
sehingga:
L1 = `A.`B.`C
·
L2 menyala
bila, `A=1,`B=1, C=1 atau `A=1, B=1,
dan `C=1 atau A=1,`B=1, dan`C=1 sehingga
dapt dituliskan menjadi: L2=(`A.`B. C +`A. B.`C + A.`B.`C)
·
L3 menyala
bila, `A=1, B=1 dan C=1 atau A=1,`B=1 dan C=1 atau A=1, B=1 dan `C=1 sehingga dapat dituliskan menjadi L3 = (`A. B. C + A.`B. C + A.
B.`C)
·
L4 menyala
bila A=1, B=1 dan C=1 sehinga diperoleh persamaan L4 = A.B.C
Keempat persamaan Aljabar Boole diatas
dituliskan dalam bentuk standart disjunctif atau biasanya disebut Sum Of
Product (SOP). Bentuk standart disjunctif dibuat dengan menyalin terlebih dahulu
secara konjunctif tiap-tiap besaran masukan yang berlogika-1 pada outputnya dan
kemudian dijalin lagi bentuk konjunctif tersebut secara disjunctif.
Kebalikan dari bentuk standart
disjunctif adalah bentuk standar konjucntif yang biasa disebut Product Of Sum
(POS). Bentuk standat konjuctif dibuat dengan menyalin dahulu secara disjunctif
tiap-tiap besaran input yang berlogika-0 pada outputnya dan kemudian menyalin
lagi bentuk disjunctif tersebut secara konjunctif.
Contoh 3 :
Perhatikan tabel kebenaran berikut ini, buatlah
persamaan Boolenya secara SOP dan POS
|
A
|
B
|
T
|
|
0
0
1
1
|
0
1
0
1
|
1
0
1
1
|
·
Bentuk
disjunctif (SOP)
T = (`A.`B ) + ( A.`B ) + ( A
+ B )
Dengan melakukan perluasan pada A.`B tanpa mengubah nilai logika T, persamaan diatas menjadi:
T = (`A.`B ) + (A.`B) +
(A.B) + (A.`B)
T = {`B (`A + A)} + {A.(`B + B)}
T = (`B.1) + (
A.1)
T = A +`B
·
Bentuk
standart konjuctif (POS)
T = A +`B
Gambar :
Contoh 4 :
|
A
|
B
|
T
|
|
0
0
1
1
|
0
1
0
1
|
0
0
1
0
|
·
SOP
(disjucntif)
T = A.`B
·
POS
(Konjunctif)
T = (`A +`B ).( A+`B ).( A +
B )
Dilakukan perluasan terhadap ( A+`B) dengan tidak merubah nilai logika output-T, sehingga diperoleh :
T = (A+B).(A+`B).(`A+`B).(A+`B)
T = {A + (B.`B)}.{`B + (A.`A)}
T = A.`B
No comments:
Post a Comment